Сравнение объемов выборки при оценивании и проверке статистических гипотез
Соотношения между точностью статистических решений, ошибками первого и второго родов и объемом выборки позволяют проводить априорное (до получения экспериментальных данных) планирование необходимого объема испытаний. Из этих соотношений может быть определен также априорный доверительный интервал, т. е. такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться истинное значение оцениваемого параметра при фиксированном объеме испытаний. При этом задача планирования объема испытаний формируется как задача обеспечения доверительного интервала заданной ширины.
При получении экспериментальных данных граничные значения
U_a, Хл-а и ПР — заменяются полученными статистиками
S2 {п — 1)/стз. Такая замена основана на следующем соображении: при изменении уровня значимости а всегда можно добиться выполнения
равенства Ui_a = (г — Л/3)/(б/7й) или S2 (п — 1)/оз = х?_„ и опре-
делить критическое значение а^,, при котором гипотеза принимает — ся. Отметим, что малые значения ос^ свидетельствуют о плохом соответствии между проверяемой гипотезой и экспериментальной статистикой и наоборот. Поэтому значения могут использоваться как возможная мера достоверности принимаемого статистического решения. После измерения априорные доверительные интервалы переходят в апостериорные, совпадающие с доверительными интерва-
лами, определенными в теории оценок. Ниже приведены процедуры такого перехода.
1. Проверка гипотезы о значении математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией. Точность статистического решения характеризуется соотношением 5/а = (U_a — U^I4n, а (1 — 2р) % — ный априорный доверительный интервал будет равен Л/3 ± 5. При замене U_a статистикой (z — M$)/(o/Jn) получаем выражение
Z + UaCsjyjn < М < Z — Ua а/4п,
совпадающее с выражением для у%-ного доверительного интервала при Р = (1 — у)/2.
2. Проверка гипотезы о значении дисперсии нормального распределения. Точность статистического решения характеризуется соотношениями:
• для гипотезы а2 < Оз : 5і = хі-а/Хр 5
• для гипотезы а2 > о^: 5і = Ха/Хі-р> а значение (1-2р)%-ного доверительного интервала будет находиться в пределах $203 < <0^6103.
При замене Xi-o статистикой J2 (л — 1)/оз получаем
S2(n — l)/xi-p й S2(n — 1)/хр,
совпадающее с у%-ным доверительным интервалом при Р = 1 — у/2.
Естественно, что априорные доверительные интервалы, рассчитанные до получения экспериментальных данных, не уже, чем апостериорные доверительные интервалы. В некоторых сравнительно редких случаях апостериорный доверительный интервал не зависит от экспериментальных данных (оценка математического ожидания при известной дисперсии). Объем испытаний в таких случаях целесообразно планировать из условия обеспечения заданной ширины апостериорного доверительного интервала w2 <т/>/я —